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<title>Fixgerade</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Fixgerade</span></h1>
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<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Eine <b>Fixgerade</b> ist in der <a href="Affine_Geometrie" title="Affine Geometrie">affinen</a> und der <a href="Projektive_Geometrie" title="Projektive Geometrie">projektiven Geometrie</a> eine <a href="Gerade" title="Gerade">Gerade</a>, die unter einer (<a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affinen</a>) bzw. einer <a href="Projektive_Abbildung" title="Projektive Abbildung">projektiven</a> Abbildung auf sich selbst abgebildet wird. Bei einer Fixgeraden müssen – anders als bei einer <a href="Fixpunktgerade" title="Fixpunktgerade">Fixpunktgeraden</a> – nicht alle Punkte der Geraden auf sich selbst abgebildet werden, es genügt, wenn jeder Punkt der Fixgeraden wieder auf einen Punkt dieser Geraden abgebildet wird. Daher ist jede Fixpunktgerade eine Fixgerade, aber nicht umgekehrt. Eine Fixgerade ist ein eindimensionaler Fixraum. Das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein von Fixräumen (spezieller: Fixgeraden) ist ein wichtiges Merkmal, mit dessen Hilfe <a href="Affinit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Affinität (Mathematik)">Affinitäten</a>, <a href="Affine_Abbildung" title="Affine Abbildung">affine Abbildungen</a>, <a href="Projektivit%C3%A4t" title="Projektivität">Projektivitäten</a> und <a href="Projektive_Abbildung" title="Projektive Abbildung">projektive Abbildungen</a> klassifiziert werden.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2></div>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Affine_Fixgerade">Affine Fixgerade</h3></div>
<p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\;x\mapsto A\cdot x+b}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>f</mi>
<mo>:</mo>
<mspace width="thickmathspace"></mspace>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">↦<!-- ↦ --></mo>
<mi>A</mi>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\;x\mapsto A\cdot x+b}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e050562a4ab2a13fafabcff81625fe696e2890.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.395ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:\;x\mapsto A\cdot x+b}" loading="lazy"></span> sei eine Abbildung in Koordinatendarstellung.<br>
<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g=[s]+t}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>g</mi>
<mo>=</mo>
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>s</mi>
<mo stretchy="false">]</mo>
<mo>+</mo>
<mi>t</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g=[s]+t}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f711f032b2ec5e8058a333aff9ac6f8ed47fa6bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g=[s]+t}" loading="lazy"></span> ist eine Fixgerade von f, wenn gilt:
</p>
<dl><dd>1.) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [s]=[A\cdot s]\quad \iff \quad }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>s</mi>
<mo stretchy="false">]</mo>
<mo>=</mo>
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>A</mi>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<mi>s</mi>
<mo stretchy="false">]</mo>
<mspace width="1em"></mspace>
<mspace width="thickmathspace"></mspace>
<mo stretchy="false">⟺<!-- ⟺ --></mo>
<mspace width="thickmathspace"></mspace>
<mspace width="1em"></mspace>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [s]=[A\cdot s]\quad \iff \quad }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdfd611d746a3cf9b1aaa0383bd6691f0ec50e24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.186ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [s]=[A\cdot s]\quad \iff \quad }" loading="lazy"></span> s ist ein <a href="Eigenvektor" class="mw-redirect" title="Eigenvektor">Eigenvektor</a> von A zu einem <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwert</a> ungleich 0</dd>
<dd>2.) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\cdot t+b-t\in [s]}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<mi>t</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>t</mi>
<mo>∈<!-- ∈ --></mo>
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>s</mi>
<mo stretchy="false">]</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cdot t+b-t\in [s]}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b5317187a9efeaca57cb6e9b82d0c2a16367d4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\cdot t+b-t\in [s]}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Dabei ist t ein <a href="Aufpunkt" class="mw-disambig" title="Aufpunkt">Aufpunkt</a> von g.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Projektive_Fixgerade">Projektive Fixgerade</h3></div>
<p>Eine projektive <a href="Fixpunktgerade" title="Fixpunktgerade">Fixpunktgerade</a> wird durch zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert ungleich 0 im Raum der Koordinatenvektoren erzeugt.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>
<ul><li><a href="Fixpunkt_(Mathematik)" title="Fixpunkt (Mathematik)">Fixpunkt</a></li>
<li><a href="Fixpunktgerade" title="Fixpunktgerade">Fixpunktgerade</a></li></ul></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
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